液滴（如雨水）在整个下降过程中的形状如何变化？

源济

液滴（如雨水）在整个下降过程中的形状如何变化？

液滴（如雨水）在整个下降过程中的形状是如何变化的？

作者 / 贾明子

0、可怕的文化人

这个提问让我想起了一个笑话：

真生气！
刚才老娘误加入一个博士群里。
有人提问：一滴水从很高很高的地方自由落体下来，砸到人会不会砸伤，或砸死？群里一下就热闹起来，各种公式，各种假设，各种阻力、重力、加速度的计算，足足讨论了近一个小时 。
这时我默默问了一句：你们没有淋过雨吗？群里突然死一般的寂静……然后，然后老娘就被踢出群了。
有文化真可怕！

之所以这是个笑话，就是，没有人真的会把雨滴当成自由落体；更重要的是，很少有人知道，在空气中下落的雨滴在计算过程中有多么的复杂，也很少有人知道雨滴下落过程中发生了多么曲折离奇的故事。

在一般的卡通读物上，雨滴都是画成这样的形状的（像泪滴一样）：

但是实际上，这种画法是大错特错的，雨滴下落过程中可能会有很多种不同的形状出现，唯独不会出现泪滴形。这些形状的形成，涉及到非常复杂的流体力学计算。当然我这里不会、也无力做出具体的计算，只是用一种速写的方式描述一下大概的原理。如果你感兴趣，可以看底下列出的参考文献。这里非常期待你能成为一个可怕的文化人。

要想知道雨滴下落中的形状，我们就需要知道在下落过程中的各种影响因素，它们包括：

• 重力
• 空气阻力
• 表面张力
• 空气的粘滞力
• 液滴的大小
• 液滴的下落速度

这些因素互相之间交叉影响。比如说重力和空气阻力一起决定了液滴的下落速度，而下落速度又会反过来影响到空气阻力对液滴各个部分的影响，进而影响到液滴的形状。而液滴的形状又会影响到空气阻力……，各种因素纠缠在一起，绝非一句话就能说清楚的。

为了说清楚液滴形状，这里不得不先讲一下两件事，空气阻力和表面张力。

1、空气阻力

空气阻力哪怕是对一个形状固定的固体都是非常复杂的事情，对形状会不停变化的雨滴来说就更加如此了。这里只简略描述一下。一般而言，空气阻力的来源有两个，一个是表面摩擦力和流体的粘滞力（这里不做区分），另一个则是曳力。

表面摩擦这里就不多说了，因为大家都懂（其实，摩擦力也没几个人能搞懂，只不过我们这里暂时假装大家都懂了）。

曳力则是一种流体力学效应。比如说，我们有一个小球，放在流体当中，那么流体的流线大概是这个样子：

左侧是层流：也就是说流体的速度非常慢，或者说流体的粘度非常高的情况。层流在自然界中非常少见，更多的情况是右边的，所谓的湍流。在湍流的情况下，小球的后部就会出现非常多的尾涡。产生一个低压区，导致小球受到向右的力。

我们不妨稍微分析一下流场的分布以及它所产生的后果。为简化起见，我们先只考虑层流的情况

在流体力学中，一个非常实用且简单的技巧就是，流场中的流线的密度就表示了流速的大小。密度越高，则流速越快。也就是说，在上图中，A、F 点的流速较慢，而 C 点的流速较快。这个“场线”的概念，在各种场中都很常见。比如说大家比较熟悉的电场线、磁场线也都有类似的性质，“密度高，场强大”。

如果你对此不能有直观的理解，我也可以换一个说法。比如说流体从左侧稳定地流向右侧，此时从左到右在任何位置，流体的流量都是相同的（也就是说，中间没有流体的积累）。但是在经过小球的时候，它流动的路径被小球遮挡了一小部分，于是流体流动的截面积变小了。这就意味着流体的流速必须变高，才能实现流量不变。

好了，现在是时候抬出一个人人都知道，但是多数人都误解的原理出来了：伯努利原理。（至于伯努利原理为何会被大众误解，不是本题的范围，有兴趣的人可以参考本人的回答。但是在本文中，出于篇幅的限制和本人的偷懒，还是用伯努利方程来讲述绝大部分现象。毕竟，俗话说的好，伯努利，白努力）

如何通俗解释伯努利原理？

伯努利原理告诉我们，在定常流中，流速越高的地方，压力越小。也就是说，在这个例子里，流体流经小球的两侧的时候，有着最低的压力。如果我们按照迎角来做一个压力分布图，它就会是这一个样子的：

也就是说，小球处在一种“两侧压力低、前后压力高”的状态。这个时候，小球受到的流体前后压力基本上是平衡的，并不会产生额外的推动力（事实上，会有少量的向右的推力）。此时小球受到来自流体的力主要是表面摩擦力。

那么，此时，用直观的图画出来，小球周围的压力分布就是这样的：

我们可以想象，如果小球是“软”的，它在这种立场的作用下，就会有被“压扁”的倾向。

但是，在湍流的情况下就会非常不同。由于粘滞力的作用，小球的后部就会形成大量的湍动、涡流，以至于在后面产生一个较大的区域压力并不会发生明显的变化。也就是说，小球的右边会有一个明显的低压区。这个时候，小球就会受到一个明显的压力不平衡，向右推动小球。这就是曳力。在湍流区域中，小球的表面摩擦力相对就不那么重要了。（请注意，在这个时候，伯努利原理已经不能做出完整的解释了。更完整的解释，需要去求解那个臭名昭著的 NS 方程）。

这就是为何，物体受到空气阻力在低速的时候与速度成正比，而在高速的时候，与速度的平方成正比的原因。

不论如何，小球受到流体的作用力总是正比于小球的表面积的。由于更小的小球比表面积更大，因此，小的物体在空气中受到的阻力的影响就会更大一些，而大的物体受到阻力的影响就会更小一些。这就是为何微尘可以漂浮在空中，而沙子却不能。

讲了这么多，你可能会疑惑，这和雨滴的形状有何关系？这个我们暂时按下不表，只是要再次强调两点，因为这是影响雨滴形状的关键：

• 体积小的物体受到的空气阻力相比于重力而言更大
• 空气在物体周围的流动会导致周边压力分布发生很大的变化。

光有这个，还不足以解释雨滴的形状，还需要另外一个力。

2、表面张力

表面张力，我们简单形象地理解，可以认为流体的两相（如气液）界面就像是一张紧绷的皮膜，在这张“膜”的约束下，液滴总是希望尽可能地收缩。也就是说，沿着它的表面有一种张力，就是表面张力。如果你想用最形象的方式理解表面张力，你可以想象一个吹起来的气球的表面：气球的弹力使它尽量收缩从而整体形成球形。相对应地，水滴的表面张力使它尽量收缩从而形成球形。

在一个气球中，里面的气体压力明显是大于外侧的。这是为何呢？原因就是表面张力“绷”出来的。就像是绷紧的气球内部压力增大一样，由于表面张力的存在，弯曲的表面就会在液面的两侧形成压力差，使得液体内部的压力大于外侧的大气压。那么，表面张力形成的压力差的大小是由什么决定的呢？

具体讲，我们对一个这样无重力液滴做出分析，它的上半球受力受到三个力的作用：

1. 内部液体在截面上对它的净压力；
2. 外部在上半球面上对它的净压力
3. 液滴表面受到的沿表面垂直于“断面”的表面张力。

很显然，外部压力 P0 和内部压力 P1 之间的差，就是由表面张力来补偿的。这个压差的大小，一个决定因素就是张力的大小：皮膜绷的越紧，所能产生的压力差就越大。

我们还很容易就会看到，液滴越小，比表面积越大，也就是说，表明张力所产生的力 f 的影响就越大。这个，就是曲率的影响。所以说，另一个很重要的因素，就是表面弯曲的程度，也就是它的曲率。我们还是用气球做一个说明，例如下面这个气球：

气球内部的气体压力处处相等，但是，接触过这种气球的人都有一个经验，就是粗的地方绷得紧，而细的地方绷得就不那么紧。如上图所示，绷得紧的地方和绷得松的地方，产生的压力差是相等的，但是他们的曲率是不相等的：也就是说，在能够产生同等压差的情况下，小曲率（粗的地方）的地方所需的张力就越大（绷得紧），而大曲率（细的地方）的地方所需的张力就越小。

反过来说，曲率越大，同样的张力所能产生的压力差就更大，曲率越小，同样张力所产生的压力差就越小。

我们有一个公式可以表示这个关系，叫做杨 - 拉普拉斯方程（Young-Laplace equation）：

其中，γ是表面张力，R1 和 R2 分别是两个方向上的曲率半径。

好了，明白了曳力和表面张力的基本知识，我们就可以来讨论液滴的形状了。

3、微小液滴

我们看到，液滴的形状影响因素太多，也太复杂，直接讨论有些难以下手。对这种情况，我们常用的办法就是讨论一个极端情况：在这种情况下，突出其中一个因素，而其他的因素都被弱化乃至于忽略掉。我们这里，先从微小液滴入手。

何谓微小？大约是几个毫米吧。

所谓小液滴，它有何特征？

• 首先，它有非常大的比表面积和非常大的曲率。也就是说，在这种情况下，表面张力的影响就被放大了。
• 其次，我们前面看到，体积越小，相比于重力而言，空气阻力就越大。也就是说，它的下落就更缓慢。下落更缓慢就意味着，在雨滴周边的气流速度就更小（相对于雨滴）。因此，气流的影响也就更小。

所以说，微小体积的极端情况下，表面张力的影响占主导地位，而气流的影响可以忽略掉。

我们前面讲到，表面张力的影响就是使得液滴的体积收缩，最终变成一个球形。当然，在有重力存在的情况下，它不会是一个完美的球形。但是，重力的影响在此非常小。因为液滴的体积很小，重力的影响相比于表面张力而言，就可以忽略掉。

也就是说，微小液滴的下落过程中，它基本上保持一个球形。

4、稍大一些的液滴

当液滴变大的时候，它的下落速度会逐渐增大，同时，它的比表面积相对减小，因此气流的影响变大，表面张力的影响变小。

表面张力的影响变小的结果就是，它不再能有力地维持液滴的球形形态。

那么，它的形状会发生何种变化呢？

我们不妨回忆一下前面在讲空气阻力的时候的一个结论，气流会使得物体周围的压力分布发生变化。具体讲，就是气流流向的两侧压力降低。

这个图的左边表示了一个下落液滴，气流相对于它的流动分布，而右侧则表示了各个方向上气流对它的压力。从前面的分析我们可以知道，这里的气流是湍流（液滴下落的情况下当然是湍流！别问为什么，问就是显而易见），它的正面（A 点）受到气流压力最大，而两侧（B）点受到的气流压力最小，尾部（C 点）受到的气流压力介于两者之间。

要知道，液滴是一个流体，因此，在上述的压力作用下，它必然会发生流动，变形。由于它的竖直方向和水平方向受到压力不平衡，它必然就会被“压扁”。也就是说，倾向于变成一种扁平的形状。

那么，它会不会一直被压扁，变成一张饼呢？答案是不会的。因为表面张力还在呢。

表面张力的作用是使它收缩成球，气流的作用是使它变成扁平。此时的液滴就在两种作用力的共同作用下达到一种新的平衡。这种平衡的结果就是液滴变成一种馒头形状。下图就是 1987 年 Beard 等人发表的一篇著名论文中预测的不同大小的液滴在空气中下落的形状。^[1]

那么，这种平衡是如何达到的呢？表面张力又是如何抵消掉气流的影响的呢？我们不得不承认，这是一个相当美妙的过程：液滴自动变换自己的形状，使得表面张力在各处的影响把外部气压的影响给平衡了。具体我们不妨来看看这个形状下外部气压的分布。根据前面的分析，这个分布大致示意如下：

在迎风面，它变成一种比较平的形状，而这种形状会反过来改变气流的分布，使得迎风面受到的压力更大（这个是非常符合直观的）。而在 B 点，它的形状就变得更加弯曲，这就会加剧伯努利效应，使得 B 点成为一个更加突出的低压区。而 C 点仍然是一个介于 AB 之间的压力。

请注意，现在随着液滴形状的改变，它在各处的曲率就变了，不再像是在球形的时候曲率处处相等。我们可以回忆前面讲到的杨 - 拉普拉斯方程：曲率大，则表面张力产生的压差就大，曲率小，则压差小。

我们可以肉眼观察，A 点很平，曲率特别小，几乎没有压差；B 点弯曲度最高，产生较大的压差，而 C 点曲率不大不小，产生的压差也就不大不小。于是乎，表面张力所产生的的压差就可以示意如下

由此我们可以看到，气流压力小的地方，恰恰表面张力产生了一个较大的压差，从而补偿掉了这个小压力。反之亦然。这样一来，液滴内部就可以维持处处压力平衡了（我们在分析中忽略掉了重力）。这样一来，即使是外界的气压不平衡，表面张力也足以维持液滴的稳定存在。

下面就是科学家在竖直风洞中实验拍到的液滴的形状，和科学家们的理论预测非常接近（以下两段动画截取自油管视频号 Be smart 发布的视频，“What do raindrops really look like?"^[2])。

5、大液滴

现在我们来讨论另一个极端，也就是大液滴的情况。何为大液滴呢，大概就是大于 6mm 左右的液滴。

和微小液滴相反，此时，液滴的形状基本上是外界气流影响主导的，而表面张力就成了大致可忽略的因素了。

失去了表面张力的制衡，液滴在气流的影响下就难以维持平衡了。具体讲，由于两侧的低压，导致液滴被持续拉平，它就有一种从馒头向着大饼变化的愿望了。

当它变得足够扁平，它就开始“兜风”了。兜风的结果是什么？你可以想象一下降落伞的样子，是的，它就变成了伞形：

而这个伞形全凭脆弱的表面张力维系。而此时表面张力已经维持不住他的存在了，于是，伞破了，风漏了，液滴碎了。就像下面这个动画显示的那样：

6、更加复杂的情况

事实上，雨滴在下落的过程中，远比这个要复杂。

首先，前面我们讲的都是比较理想的情况。也就是说，我们假设液滴可以稳定地下落，加速，直至达到它的终端速度（也就是重力等于空气阻力、液滴匀速下落的情况）。在这个过程中，液滴内部一直保持一种平衡的状态。

而事实上则不是这样的。首先，由于粘滞力的存在，液体的表面是会被气流带动而流动的，最终会形成一种液滴内部的流动：

这就给整个过程增加了大量的变数。更何况气流也不总是稳定的。

气流影响液滴的形状，液滴的形状反过来又会影响气流的流动。互相反馈，极容易形成振荡。这种振荡就表现在雨滴下落过程中不断地扭曲、变形、跳动（视频截取自 Nasa 的油管视频^[3]）：

而这种振荡又分为表面波和压力波在液滴内部的传导，这就不是简单的理论计算可以搞定的。这篇论文^[4]对液滴的振荡过程做了研究，发现振荡频率随着液滴的增大而成一种对数线性的关系。

如果我们吧眼光从单个液滴挪开，我们就会发现更加复杂的运动。大量的雨滴会使得局部的气流更加紊乱，从而使得前面相对稳定的气流变得复杂无比。而在下落过程中，小液滴碰撞，会因为表面张力的原因聚集并且越聚越大，然而当它变大的时候，就会变得不稳定，而重新崩裂成小液滴。而有些不那么小的液滴碰撞的时候，并不会单纯地聚集，而是会直接碰碎，形成复杂无比的运动。